Probabilistic Analysis of the Upwind Scheme for Transport

We provide a probabilistic analysis of the upwind scheme for d-dimensional transport equations. We associate a Markov chain with the numerical scheme and then obtain a backward representation formula of Kolmogorov type for the numerical solution. We then understand that the error induced by the scheme is governed by the fluctuations of the Markov chain around the characteristics of the flow. We show, in various situations, that the fluctuations are of diffusive type. As a by-product, we recover recent results due to Merlet and Vovelle [13] and Merlet [12]: we prove that the scheme is of order 1/2 in L∞([0, T ], L(R)) for an initial datum in BV (R) and of order 1/2 − ε, for all ε > 0, in L∞([0, T ]×Rd) for an initial datum in W (R). Our analysis provides a new interpretation of the numerical diffusion phenomenon. Résumé. Nous proposons une analyse probabiliste du schéma upwind pour les équations de transport en dimension d quelconque. Pour cela, nous associons au schéma une châıne de Markov qui nous permet d’obtenir une formule de représentation de type Kolmogorov pour la solution numérique. Nous comprenons alors que l’erreur due au schéma est gouvernée par les fluctuations de la châıne de Markov autour des caractéristiques du transport. Nous montrons, dans des situations diverses, que ces fluctuations sont de type diffusif. Comme conséquence, nous retrouvons des résultats récents de Merlet et Vovelle [13] et Merlet [12] : nous montrons que le schéma upwind est d’ordre 1/2 dans L∞([0, T ], L(R)) pour une donnée initiale dans BV (R), et d’ordre 1/2 − ε pour tout ε > 0 pour une donnée initiale dans W (R). Cette analyse donne une interprétation nouvelle du phénomène de diffusion numérique.